当我们面对这样一个数学问题，即求函数z=f(3xy, x^2+y^2, x^3)对于变量x和y的所有二阶偏导数时，我们首先需要理解题目中的函数形式。
这个函数z是由三个部分组成的复合函数，每个部分都是x和y的函数。为了计算二阶偏导数，我们需要先计算一阶偏导数，然后对这些结果再次求导。
首先，我们定义u=3xy, v=x^2+y^2, w=x^3。这样原函数可以表示为z=f(u,v,w)。
接下来，我们开始计算一阶偏导数。对于z关于x的偏导数，我们可以应用链式法则：
\(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}\)
类似地，对于y的偏导数：
\(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial y}\)
然后我们需要进一步计算二阶偏导数。例如，对于z关于x和x的二阶偏导数：
\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} (\frac{\partial u}{\partial x})^2 + 2 \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial u \, \partial v} (\frac{\partial u}{\partial x})(\frac{\partial v}{\partials x}) + 2 \cdot \frac{\partials^2 f}{\partials u \, partial w} (\fractions {\partials u }{partials x})(fractions {\partials w }{partials x}) + ... 反回首页web.ttinf.com 时间:2025-10-20 03:04:29 阅读:3935次
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